Geometría métrica

 Problema fundamental de tangencias

Los 10 problemas de Apolonio

Con Geogebra podrás estudiar los primeros casos.  Tangencia entre tres puntos y entre tres rectas. También entre circunferencia, punto y punto. Enciendes las casillas para ver las soluciones.

Punto - Punto - Punto y Recta - Recta - Recta

Circunferencia - Punto - Punto

Lugar geométrico

Eje radical de dos circunferencias

El eje radical  de dos circunferencias es una recta perpendicular a la línea de sus centros.

Propiedades

1.El eje radical de dos circunferencias es el lugar geométrico de los puntos del plano desde los cuales se puede trazar segmentos tangentes de igual longitud a las circunferencias.

Mueves el punto P en la imagen interactiva que tienes aquí abajo, podrás comprobar tú mismo que Las potencias de todos los puntos del eje radical son iguales a los cuadrados de los segmentos de tangentes desde el punto a las circunferencias. 

2.  El eje radical de dos circunferencias es, también, lugar geométrico de las circunferencias ortogonales a las dos datas.

Una circunferencia para ser ortogonal a las dos circunferencias, su centro debe permanecer en el eje radical de las dos circunferencias.
Imagina, por ejemplo, una circunferencia con centro P y como radio T1-P o T2-P. Esta será la circunferencia ortogonal a las dos circunferencias, porqué su centro reside en el eje radical de las dos circunferencias. 

Trasformaciones

Trasformaciones

Inversión de un punto

La Inversión en Dibujo Técnico es una transformación geométrica en la que a una figura corresponde otra y en la que se cumple que: 

- Dos puntos inversos (A, A’) están alineados con un punto fijo llamado Centro de Inversión (O)

-El producto de la distancia de un punto al Centro de Inversión por la distancia de su inverso al Centro de Inversión es constante (K) y se llama Potencia de Inversión.




2. Dados dos puntos A, B y sus inversos A’, B’, las rectas A-A’ y B-B’ son antiparalelas de las rectas A-B y A’-B’.

Esto quiere decir que el ángulo que forma la recta A-A’ con A’-B’ y con A-B son iguales que los que forma la recta B-B’ con A-B y con A'-B' respectivamente.

Potencia de un punto

“Potencia de un punto respecto de una circunferencia"

La expresión potencia de un punto se refiere a un resultado que relaciona las longitudes de segmentos de rectas que pasan por dicho punto y cortan a una circunferencia fija.

Si P es un punto en el plano y se fija una circunferencia con centro O, entonces para cualquier línea que pase por P y corte a la circunferencia en dos puntos A, B, se cumplirá que PA·PB es constante, independientemente de la posición de la línea. El valor de dicha constante se denomina la potencia del punto P.

¿Qué pasaría si mueves el punto P dentro y fuera de la circunferencia? 

La potencia W de un punto P respecto de una circunferencia c es el producto de la mayor por la menor distancia del punto P a la circunferencia c.

Si tenemos en cuenta que el segmento “m” es igual a la distancia “d” del punto “P” al centro “C” de la circunferencia “c“, menos el radio “R” de la misma (d-R), y que el segmento “n” es la suma de “d” y “R” (d+R) tendremos que:


(potencia de P) W = Dmin x Dmáx = PA x PB = m x n = d²- R²= I²


Si el punto P es interior a la circunferencia no existirá el segmento de tangencia, pero podemos establecer igualmente la relación con los lados de un triángulo pitagórico.

(potencia de P) W = Dmin x Dmáx = PA x PB = m x n = d²- R²= I² = - (d²- R²)

Referencia

Verdadera magnitud

Verdadera magnitud de un segmento

Hoy vamos a ver la verdadera magnitud de un segmento que no es paralelo a ningún plano de proyección.

Pitágora

Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Pitágoras

Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes a y b, y la medida de la hipotenusa es c, se formula que:














Aplicaciones del teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras se aplica sólo a los triángulos rectángulos, pero su conocimiento puede ser útil en todos los casos en que en una forma plana que es posible derivar un triángulo rectángulo.
Veamos algunos ejemplos.


triángulo equilátero


Trazando la altura de un triángulo equilátero se obtienen dos triángulos rectángulos. Consideremos uno.

tenemos:
AB = hipotenusa 
(el lado del triángulo equilátero es la hipotenusa)
BH = cateto 
(la altura del triángulo equilátero corresponde a un cateto)

AH = cateto 
(medio del triángulo equilátero corresponde al otro lado catéter)

Cuadrado

Dibujo de una diagonal del cuadrado obtenemos dos triángulos rectángulos isósceles, es decir, con el cateto del mismo tamaño. Consideremos uno.

tenemos:
BD = hipotenusa 
(las diagonales corresponde a la hipotenusa)
AD = AB = catetos 
(los lados del cuadrado corresponden a catetos)





trapecio rectangular

Trazando la altura de un trapecio rectangular obtenemos un triángulo rectángulo. Considere el triángulo de las enfermedades del corazón en ángulo.

tenemos:
CH = cateto 
(la altura del trapecio corresponde a un catéter)
HD = cateto (la diferencia entre la base mayor y la base menor corresponde a la otra cateto) 
CD = hipotenusa (el lado oblicuo del trapezoide corresponde a la hipotenusa)


Las demostraciones del famoso teorema, a lo largo de los siglos, han habido varias propuestas, con muchas variaciones, y su número sigue creciendo gracias a los que todavía están descubiertas por los matemáticos profesionales o aficionados, siempre fascinados por este teorema. Si vamos a navegar encontramos algunos muy curiosos.

solución problema nº2

Solución problema n·2

Del primer teorema de Tales se deduce lo siguiente: 
Si dos rectas cualesquieras (r y s) se cortan por varias rectas paralelas (AA’, BB’, CC’) los segmentos determinados en una de las rectas (AB, BC) son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra (A’B’, B’C’).

Desde esta reflexión podemos resolver el problema n°2:

Problema nº2

Problema n·2

Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de x.

Recuerdate de Tales

Arco capaz

Arco capaz

El arco capaz es el lugar geométrico de los puntos que unidos con los extremos de un segmento forman siempre un mismo ángulo.

El más utilizado es el arco capaz con ángulo de 90º. Este caso se corresponde con el 2º teorema de Tales, de tal modo que el arco capaz es la circunferencia cuyo diámetro es el segmento AB.
Conocer las propiedades del arco capaz es muy útil en dibujo para resolver problemas geométricos relacionados con ángulos de triángulos.