Potencia de un punto

“Potencia de un punto respecto de una circunferencia"

La expresión potencia de un punto se refiere a un resultado que relaciona las longitudes de segmentos de rectas que pasan por dicho punto y cortan a una circunferencia fija.

Si P es un punto en el plano y se fija una circunferencia con centro O, entonces para cualquier línea que pase por P y corte a la circunferencia en dos puntos A, B, se cumplirá que PA·PB es constante, independientemente de la posición de la línea. El valor de dicha constante se denomina la potencia del punto P.

¿Qué pasaría si mueves el punto P dentro y fuera de la circunferencia? 

La potencia W de un punto P respecto de una circunferencia c es el producto de la mayor por la menor distancia del punto P a la circunferencia c.

Si tenemos en cuenta que el segmento “m” es igual a la distancia “d” del punto “P” al centro “C” de la circunferencia “c“, menos el radio “R” de la misma (d-R), y que el segmento “n” es la suma de “d” y “R” (d+R) tendremos que:


(potencia de P) W = Dmin x Dmáx = PA x PB = m x n = d²- R²= I²


Si el punto P es interior a la circunferencia no existirá el segmento de tangencia, pero podemos establecer igualmente la relación con los lados de un triángulo pitagórico.

(potencia de P) W = Dmin x Dmáx = PA x PB = m x n = d²- R²= I² = - (d²- R²)

Referencia

Pitágora

Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Pitágoras

Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes a y b, y la medida de la hipotenusa es c, se formula que:














Aplicaciones del teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras se aplica sólo a los triángulos rectángulos, pero su conocimiento puede ser útil en todos los casos en que en una forma plana que es posible derivar un triángulo rectángulo.
Veamos algunos ejemplos.


triángulo equilátero


Trazando la altura de un triángulo equilátero se obtienen dos triángulos rectángulos. Consideremos uno.

tenemos:
AB = hipotenusa 
(el lado del triángulo equilátero es la hipotenusa)
BH = cateto 
(la altura del triángulo equilátero corresponde a un cateto)

AH = cateto 
(medio del triángulo equilátero corresponde al otro lado catéter)

Cuadrado

Dibujo de una diagonal del cuadrado obtenemos dos triángulos rectángulos isósceles, es decir, con el cateto del mismo tamaño. Consideremos uno.

tenemos:
BD = hipotenusa 
(las diagonales corresponde a la hipotenusa)
AD = AB = catetos 
(los lados del cuadrado corresponden a catetos)





trapecio rectangular

Trazando la altura de un trapecio rectangular obtenemos un triángulo rectángulo. Considere el triángulo de las enfermedades del corazón en ángulo.

tenemos:
CH = cateto 
(la altura del trapecio corresponde a un catéter)
HD = cateto (la diferencia entre la base mayor y la base menor corresponde a la otra cateto) 
CD = hipotenusa (el lado oblicuo del trapezoide corresponde a la hipotenusa)


Las demostraciones del famoso teorema, a lo largo de los siglos, han habido varias propuestas, con muchas variaciones, y su número sigue creciendo gracias a los que todavía están descubiertas por los matemáticos profesionales o aficionados, siempre fascinados por este teorema. Si vamos a navegar encontramos algunos muy curiosos.

Jugamos con las matemáticas

Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Pitágoras

Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes a y b, y la medida de la hipotenusa es c, se formula que:














Aplicaciones del teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras se aplica sólo a los triángulos rectángulos, pero su conocimiento puede ser útil en todos los casos en que en una forma plana que es posible derivar un triángulo rectángulo.
Veamos algunos ejemplos.


triángulo equilátero


Trazando la altura de un triángulo equilátero se obtienen dos triángulos rectángulos. Consideremos uno.

tenemos:
AB = hipotenusa 
(el lado del triángulo equilátero es la hipotenusa)
BH = cateto 
(la altura del triángulo equilátero corresponde a un cateto)

AH = cateto 
(medio del triángulo equilátero corresponde al otro lado catéter)

Cuadrado

Dibujo de una diagonal del cuadrado obtenemos dos triángulos rectángulos isósceles, es decir, con el cateto del mismo tamaño. Consideremos uno.

tenemos:
BD = hipotenusa 
(las diagonales corresponde a la hipotenusa)
AD = AB = catetos 
(los lados del cuadrado corresponden a catetos)





trapecio rectangular

Trazando la altura de un trapecio rectangular obtenemos un triángulo rectángulo. Considere el triángulo de las enfermedades del corazón en ángulo.

tenemos:
CH = cateto 
(la altura del trapecio corresponde a un catéter)
HD = cateto (la diferencia entre la base mayor y la base menor corresponde a la otra cateto) 
CD = hipotenusa (el lado oblicuo del trapezoide corresponde a la hipotenusa)


Las demostraciones del famoso teorema, a lo largo de los siglos, han habido varias propuestas, con muchas variaciones, y su número sigue creciendo gracias a los que todavía están descubiertas por los matemáticos profesionales o aficionados, siempre fascinados por este teorema. Si vamos a navegar encontramos algunos muy curiosos.